第五章   相似矩阵及二次型

教学要点：

向量的内积；特征值；特征向量；相似矩阵；二次型；正定二次型。 教学时数：

16 学时。
教学内容：

第一节   预备知识：向量的内积（4 学时）

本节首先给出了向量的内积、长度的定义和性质，接着讨论了正交向量组的性质，介绍 了规范正交基、正交矩阵和正交变换的概念。

第二节 方阵的特征值与特征向量（2 学时）

给出了方阵的特征值、 特征向量和特征多项式的定义，并要学会如何去求方阵的特征值 与特征向量，同时给出了特征值与特征向量的关系。

第三节 相似矩阵（2 学时）

本节给出了相似矩阵的定义和几条简单性质。
第四节   对称矩阵的相似矩阵  （2  学时）

给出了实对称矩阵的性质以及把一个矩阵化为对角矩阵时正交矩阵的求法。 第五节   二次型及其标准形  （   2  学时）

主要介绍了用矩阵的初等变换将二次型  f(x1,x2,…,  xn)化为只含平方项的二次型的方 法，并通过实例让学生熟练掌握将二次型化为标准形的过程。

第六节   用配方法化二次型成标准形  （2  学时） 本节主要用拉格朗日配方法把二次型化为标准形。 第七节   正定二次型   （2  学时）

给出了正定矩阵和负定矩阵的定义以及二次型为正定的充要条件。 考核要求：

要使学生理解本章的这些基本概念，掌握基本性质。本章的重点概念是矩阵的内积，矩
阵的特征值和特征向量，相似矩阵,二次型。 要熟练掌握它们的运用。务必真正学懂学好这
一章。