西北师范大学物理与电子工程学院
物理学专业与电子信息工程专业 《高等数学I》课程教学大纲

总体说明

（一） 学时与学分

学时： 90

学分： 5

（二） 授课对象

物理学专业、电子信息工程专业本科生

（三） 先修课程

初等数学

（四） 教学目的

《高等数学I》是在实数范围内、用极限方法研究一元函数性态的一门重要基础理论课程。通过本课程的学习，使学生系统地获得一元函数微积分、空间解析几何的基础理论知识和基本计算方法。通过各教学环节，逐步培养学生具备比较熟练分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。

《高等数学I》在大学一年级第一学期开设，每周 5 学时，总学时为 90 学时。

在《高等数学I》的教学中，要注重学生素质的教育。通过各个教学环节 ( 课堂讲授、习题课、引导学生自学讨论、辅导、总结、考核等 ) ，逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑思维能力、空间想象能力和自学、综合分析的素质。教学中要坚持理论和实践相结和的原则，特别要注意发现培养学生解决实际问题和实践创新的能力。

主要内容及基本要求

第一章 函数与极限 （16学时）

主要内容 :

1.1 映射与函数

1.2 数列的极限

1.3 函数的极限

1.4 无穷小与无穷大

1.5 极限存在准则 两个重要极限

1.7 无穷小的比较

1.8 函数的连续性与间断点

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

1.10 闭区间上连续函数的性质

基本要求 :

1.1 理解函数、复合函数、反函数、隐函数、无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念， 掌握函数的表示方法及基本初等函数的性质和图形。

1.2 理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

1.3 理解极限的概念，了解分段函数的极限。

1.4 熟练掌握极限四则运算法则及利用两个重要极限求极限的方法。

1.5 掌握极限存在的二个准则，并会利用它们求极限。会用等价无穷小求极限。

1.6 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

1.7 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

教学要点 :

极限是高等数学的灵魂，贯穿高等数学的始终，是建立微积分的基础，也是本章的重点和难点，务必要注重对极限概念的深入领会和极限的计算。

第二章 导数与微分 （14学时）

主要内容 :

2.1 导数概念

2.2 函数的求导法则

2.3 高阶导数

2.4 隐函数及其由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

2.5 函数的微分

基本要求 :

2.1 理解导数和微分的概念（包括左、右导数）、导数和微分的几何意义及物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系。

2.2 掌握导数的四则运算法则和复合函数、隐函数及参数方程所确定的函数的求导方法，掌握基本初等函数的导数公式。会求分段函数的一阶和二阶导数。

2.3 会用导数描述一些基本的物理量。

教学要点 :

在紧扣导数和微分的计算这一重点的同时，要注重培养学生对瞬时变化率（或变化速率）和导数关系的理解，引导学生从静止、不变的初等数学进入运动、变化的高等数学。特别要注重与实际问题的联系。

第三章 中值定理与导数的应用 （14学时）

主要内容 :

3.1 微分中值定理

3.2 洛必达法则

3.3 泰勒公式

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.5 函数的极值与最大值最小值

3.6 函数图形的描绘

3.7 曲率

3.8 方程的近似解

基本要求 :

3.1 理解并会应用罗尔定理、拉格朗日定理.利用定理能求方程的根、证明不等式。了解柯西定理。

3.2 掌握洛必达法则求未定式极限的方法。

3.3 理解泰勒公式，掌握函数的泰勒展开方法。

3.4 理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。掌握求最大值、最小值的应用问题。

3.5 掌握函数图形的描绘方法（包括水平、垂直渐近线）。

3.6 了解曲率、曲率半径的慨念，并会计算。

教学要点 :

利用洛必达法则求未定式极限、利用导数概念判定函数（曲线）变化性态是本章重点。通过本章的学习，要加强学生对导数的应用。

说明：前三章为一元微积分的最基本内容，安排了 44 学时，可在此安排第一学期中期考试。

第四章 不定积分 (14学时)

主要内容 :

4.1 不定积分的概念与性质

4.2 换元积分法

4.3 分部积分法

4.4 有理函数的积分

4.5 积分表的使用

基本要求 :

4.1 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

4.2 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法。

4.3 掌握有理函数及简单无理函数的积分方法，会求三角有理函数的积分。

教学要点 :

不定积分的计算是本章的重点。同时要加强对原函数的理解，深刻领会变化规律与变化速率之间的互求。

第五章 定积分 (10学时)

主要内容 :

5.1 定积分的概念与性质

5.2 微积分基本公式

5.3 定积分的换元法和分部积分法

5.4 反常积分

5.5 反常积分的审敛法 Gamma函数

基本要求 :

5.1 理解定积分的基本慨念和定积分中值定理。

5.2 理解变限函数及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼兹公式。

5.3 掌握定积分的性质及换元积分法和分部积分法。

5.4 理解广义积分的概念，掌握广义积分的计算方法。 了解广义积分的审敛法。

教学要点 :

定积分的计算是本章的重点。同时要加强对定积分定义的理解，深刻领会用不变代变、以直代曲的思想。

第六章 定积分的应用 （10学时）

主要内容 :

6.1 定积分的元素法

6.2 定积分在几何学上的应用

6.3 定积分在物理学上的应用

基本要求 :

掌握定积分在几何上的应用（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面为已知的立体体积）和物理上的应用（质量、变力作功、引力、压力和函数的平均值）。

教学要点 :

本章的重点为元素法及其应用。元素法为微积分的一个基本方法，也是用高等数学解决实际问题的一个基本技能，务必要加强对元素法的理解和掌握。

第七章 空间解析几何与向量代数 (14学时)

主要内容 :

7.1 向量及其线性运算

7.2 数量积、向量积、混合积

7.3 曲面及其方程

7.4 空间曲线及其方程

7.5 平面及其方程

7.6 空间直线及其方程

基本要求 :

7.1 理解向量的概念及其表示，掌握向量的基本运算 ( 线性运算、数量积、向量积 ) ，了解向量的混合积。

7.2 掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

7.3 掌握平面方程 ( 点法式、截距式、一般式方程 ) 、直线方程（参数式方程、对称式方程、一般式方程）、会用平面直线的相互关系解决有关问题。

7.4 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7.5 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解它在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学要点 :

对空间点、线、面的描述是本章的重点，同时要加强对空间概念的理解以及对空间图形的想象能力。

说明：第一学期期终考试

参考教材

1.《高等数学》（第五版）（上册），同济大学应用数学系 主编， 高等教育出版社， 2002年7月.

2.《 高等数学》 ( 第二版 )（第一册），四川大学数学系高等数学教研室 编，高等教育出版社， 1990年.