蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。

一、基本思想

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值，或者是某个随机变量的函数的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

二、工作原理

蒙特卡罗模拟通过替换值范围（概率分布）为具有内在不确定性的任何因素构建可能结果的模型，从而执行风险分析。然后重复计算结果，每次使用分布函数中的一组不同随机值。根据为随机值指定的不确定因素的数量和范围，蒙特卡罗模拟在完成之前可以进行成千上万次重新计算。蒙特卡罗模拟生成可能结果值的分布。通过使用概率分布，变量可以具有所生成的不同结果的不同概率。概率分布是描述风险分析变量中的不确定因素的一种更切合实际的方法。常用概率分布包括： 正态分布、对数正态分布 、 均匀分布、 三角分布、 PERT 分布、离散分布等。[1]

三、工作过程

在解决实际问题的时候应用蒙特卡洛方法主要有两部分工作：

用蒙特卡洛方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

四、蒙特卡洛模拟的优势

与确定性分析或“单点估计”分析相比，蒙特卡罗模拟提供许多优势：

1.概率结果。结果不仅显示可能发生的情况，并且显示每个结果的发生概率。

2.图形结果。使用由蒙特卡罗模拟生成的数据，用户可以方便创建不同结果及其发生概率的图形。对于向其他利益相关方传达结果而言，这一点很重要。

3.灵敏度分析。仅在少数案例中，确定性分析难于查看哪些变量对结果的影响最大。在蒙特卡罗模拟中，用户可以方便查看哪些输入项对最终结果的影响最大。

4.方案分析：在确定性模型中，很难为不同输入项的不同的值组合建立模型，以查看真正不同的方案的影响。使用蒙特卡罗模拟，分析人员可以在某些结果发生时，准确查看哪些输入项将哪些值组合在一起。要完成进一步分析，这一点非常重要。

5.输入项相关性。在蒙特卡罗模拟中，可以为输入变量之间的相互依赖关系建立模型。事实上，当一些因素上升，而其他因素也相应上升或下降时，准确表示其变化方式很重要。

6.蒙特卡罗模拟的增强功能是使用拉丁超立方体法抽样，此功能从分布函数的整个范围内进行更准确的抽样。[1]

五、蒙特卡洛方法在物理学中应用举例

1.分子物理

使用蒙特卡洛方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：

使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。计算新的分子构型的能量。比较新的分子构型与改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。

2. 粒子输运物理

粒子与物质相互作用时服从统计学规律，发生作用的位置、作用的形式(如对光子而言，有光电效应、康普顿效应、电子对效应)，发生作用后粒子可能被吸收或散射，散射粒子的运动方向和能量、2次作用位置间的距离等参数均是随机变量。蒙特卡罗方法可以模拟粒子与物质相互作用的全过程，通过模拟10万甚至100万个粒子的输运过程，就可以比较精确地计算出粒子束与物质相互作用的宏观特征，如注量分布、吸收剂量分布。用蒙特卡罗方法解粒子输运问题一般包括3个过程：源分布抽样过程，产生粒子的初始状态；空间、能量和运动方向的随机游动过程，产生粒子的运动状态序列；记录贡献与分析结果，记录每个粒子对所求量的贡献并分析所求量的误差。蒙特卡罗方法的优点是可以处理粒子输运的各种复杂情况，尤其是一些难以进行实验测量的情况。[2]

3．肿瘤放射物理学

(1)外照射源模拟
　　 以加速器产生的X射线的输运过程为例，蒙特卡罗技术是用随机抽样技术去模拟两个过程：由加速器X射线靶产生的X射线和一级准直器、均整器产生的散射X射线组成的初始射线和散射线的能谱及离轴分布；初始射线及散射线光子在介质中的输运过程。目前已有蒙特卡罗程序，如EGS4和EGS BEAM等，不仅能模拟均匀介质中上述两种过程，而且能够精确模拟不均匀介质中，光子和经一级和二级碰撞产生的次级电子的径迹，和计算它们的能量沉积，对一个治疗射野，蒙特卡罗模拟跟踪上亿个光子事件的能量沉积过程。在最常用的BEAM程序中，将粒子的输运过程分成几个区间，通过对上百万个粒子的初始状态、碰撞位置、碰撞性质以及碰撞后粒子的能量与方向的确定，得到每个区间或截面的宏观特征，并记录结果。例如单纯的光子输运过程，输运之前确定其初始状态（空间位置、能量的大小、运动方向），并根据光子与物质作用的宏观截面的大小，确定下次作用事件的位置和作用性质等，由光子与物质作用的形式，在进入下一个区间时确定是否继续跟踪此光子。BEAM程序提供加速器机头的组成模块，以文件形式输出，并提供一些降低方差技术，使用者可根据加速器的具体情况而灵活应用。
   (2)外照射时模体内辐射场模拟
　　 模拟粒子束进入模体能量沉积的过程，包括粒子通过加速器与模体表面之间的空气间隙的作用过程。最常用的软件是SPRXYZ和DOSXYZ，SPRXYZ是在SPRRZ和DOSXYZ的基础上产生的计算法则。Rogers等利用SPRXYZ对管电压标称值为10 mV和20 mV的X射线的水、空气阻止本领比（sw：air）作了计算，结果与Andreo和Nahum的计算结果一致。结果显示水、空气阻止本领比（sw：air）随深度的变化可达到1.25%，变化趋势是在模体表面附近略大，在最大电离深度处大幅度减小，然后随着深度的增加均匀减小。利用DOSXYZ除了可以准确给出模体内离轴比和百分深度剂量以及射野的大小外，还可以求解除剂量以外的一些物理量，比如能谱和初始射线、散射线的平均能量。 Rogers等用蒙特卡罗技术对管电压标称值为10 mV和20 mV能级的X射线的中心轴百分深度剂量作了模拟计算，计算结果与测量结果相差不到最大深度剂量的1.5%，并且对TRS277中的有效测量点用蒙特卡罗方法作了验证。结果表明有效测量点的修正比水、空气阻止本领的变化对中心轴百分深度剂量的影响更大，而且有效测量点下移0.6 r(电离室空腔内径)，与0.75 r相比，前者的测量结果与蒙特卡罗计算结果更为接近，而后者的差异可达到1.5％。

另外，还有剂量仪响应模拟、外照射治疗计划应用、腔内放疗源周围辐射场模拟等相关应用。

参考文献：

【1】 戴艳，零基础学算法（第二版），机械工业出版社，2012年3月：224-225。

百度百科：http://baike.baidu.com/view/2572388.htm。

【2】 彭建亮，赵兰才，程金生，蒙特卡罗方法在肿瘤放射物理学中的应用中华实用医药杂志，2005年第5卷第23期 。

经典统计物理