微积分精品课程

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西北师范大学财经类专业课程教学大纲

微积分

一、说 明

（一）课程性质

《微积分》课程是国家教委在高等学校财经类专业中设置的核心课程之一，它也是其他经济数学课程如《线性代数》、《概率统计》等的基础。高等数学在经济科学、管理科学中有着广泛的应用。更是现代经济科学研究与应用的重要工具。因此，学好《微积分》不仅对学习后继课程是必不可少的，而且对掌握现代经济管理理论并应用与实际也是很有必要的。

（二）教学目的

《微积分》是财经类专业的一门基础课程，是学习现代经济科学的重要工具。通过教学，使学生掌握《微积分》基本理论，基本知识和基本方法，具有比较熟练的计算能力并为学好其他后继数学课程以及各门经济类课程打下扎实的数学基础，从而能正确地运用数学工具解决经济类专业学习中的问题。

（三）教学内容

本课程以微积分学为核心内容，主要包括函数、极限、导数与微分、积分、级数、微分方程等。一元函数和多元函数是微积分研究的对象，而极限理论则是最重要的基础。导数、微分、不定积分、常义及广义积分、级数这些基本概念均是借助于极限建立起来的。微分方程则作为微积分的延伸和应用。大纲中不带“ * ”号的内容为基本内容，有些专业如对数学知识有更高的要求，可根据实际需要选学大纲中带“ * ”号的内容。

（四）教学时数

根据学分数，《微积分》的正式教学时数（包括习题课）为 142 学时（讲授一个学期）。

（五）教学方式

以课堂教学为主，部分章节可根据学生的情况和实际需求采用各类实践教学活动。

二、本文

第一章函数

教学要点：

1 、理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。 2 、理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。 3 、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。 4 、了解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。 5 、理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。 6 、理解基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。 7 、理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。 8 、会建立简单应用问题的函数关系。 9 、本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习提高，不必再作详细讲解。

教学时数 ：

2 学时。

教学内容：（第一、二、三、四节一课时，第五、六、七、八节一课时）
第一节预备知识
实数及其几何表示，实数的绝对值，绝对值的基本性质，绝对值不等式；区间与邻域的概念。
第二节函数概念
常数与变量，函数的定义与表示法，函数定义域的求法。
第三节函数的几何特性
单调性，有界性，奇偶性，周期性。
第四节反函数
反函数的定义及其图形，反三角函数及其主值。
第五节复合函数的定义
第六节初等函数
基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形；初等函数的定义。
第七节分段函数
分段函数的概念及其图形特征。
第八节建立函数关系的例子
经济变量间的数量关系――经济函数。总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。
考核要求：
领会函数、反函数、复合函数的定义，识记各类经济函数，学会分段函数的应用

第二章极限与连续

教学要点：

1 、了解数列与函数极限的概念。关于数列与函数极限的分析定义不作要求。 2 、了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量和无穷大量的关系。 3 、知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。单调有界数列的极限存在性定理不证明。 4 、熟练掌握两个重要的极限，两个重要极限的证明不作要求。 5 、了解函数连续的概念，函数间断的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法。 6 、了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义域内必连续的结论。 7 、了解闭区间上连续函数的基本定理。基本定理不证明，只作几何说明。 8 、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要的极限以及函数的连续性等求极限的值。
教学时数：18 学时。
教学内容：
第一节数列的极限（两学时）
数列的概念，数列极限的定义与几何意义，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。
第二节函数的极限（两学时）
?时，函数 ?的极限；时，函数的极限；函数极限的几何解释；单边极限（左、右极限，或时，函数的极限）。
第三节无穷小量与无穷大量（一学时）
无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。
第四节极限的四则运算（两学时）
第五节极限的基本性质：唯一性、有界性、保号性、极限不等式等。（两学时）
第六节极限的存在性定理：夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。（两课时）
第七节两个重要的极限（两课时）
，?????? ?.
第八节函数的连续性（三课时）
函数的改变量。函数的连续性，左连续与右连续；函数连续与极限的关系。函数的间断点及其分类。
连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。
第九节闭区间上连续函数的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理。（两课时）
考核要求：
领会极限、连续定义及极限、连续的性质定理。综合应用无穷小和无穷大及函数连续性求极限。应用左、右极限及连续判断函数的间断点及其分类。综合应用闭区间上连续函数的基本定理。

第三章导数与微分

教学要点：
1 、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系。 2 、熟练掌握基本初等函数的导数公式。 3 、熟练掌握导数的四则运算公式。 4 、掌握反函数的导数公式（反函数求导公式证明不作要求） 5 、熟练掌握复合函数的链式求导公式（证明不作要求）。 6 、掌握对数求导法与隐函数求导法。 7 、了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的 ?阶导数的方法。 8 、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系，以及微分形式的不变性；熟练掌握求可微函数微分的方法。 9 、知道边际与弹性的概念，会求解简单的经济应用题。
教学时数：18 学时。
教学内容：
第一节导数概念（两学时）
变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率。导数的定义与几何意义，可导与连续的关系。
第二节基本初等函数的导数公式（两学时）
第三节导数的四则运算（两学时）
第四节反函数与复合函数的导数，隐函数的导数；对数求导法（四学时）
第五节高阶导数的概念与求法（一学时）
第六节微分（三学时）
微分的定义与几何意义；可导与微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不变性。
第七节导数与微分的简单应用（四学时）
边际与弹性概念。 * 近似计算与误差估计。
考核要求：
领会导数、微分的几何意义。综合应用求导、微分方法。

第四章中值定理与导数的应用

教学要点：
1 、能叙述罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，知道这些定理之间的关系，会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。有关这些定理的证明不作要求。 2 、熟练掌握罗比达法则和各种未定式的定值方法。只证明型未定式的罗比达法则，型未定式的罗比达法则的证明不作要求。注意罗比达法则适用的条件。熟练掌握函数单调性的判别方法。熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解函数极值与最值的关系与区别。会求解某些简单的经济应用问题。熟练掌握曲线凹凸性判别方法；熟练掌握求曲线拐点与渐进线的方法。掌握函数作图的基本步骤和方法；会作某些简单函数的图形。
教学时数：18 学时。
教学内容：
第一节中值定理（四学时）
罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。
第二节罗比达法则与各种未定式的定值方法（两学时）
第三节函数单调性的判别法（一学时）
第四节函数的极值与最值（三学时）
函数极值的定义，函数取极值的必要条件与充分条件。函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。
第五节曲线的凹凸性、拐点与渐进线（两学时）
曲线凹凸性与拐点的定义，曲线凹凸性与拐点的判别法，凹凸区间与拐点的求法。曲线渐进线的定义与求法。
第六节函数作图的基本步骤与方法（四学时）
第七节经济应用举例：最大利润、最小成本等。（两学时）
考核要求：
综合应用罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。综合应用极值、凹凸性、渐进线画图。

教学要点：
1、原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。 2 、熟悉基本积分表。 3 、熟练掌握计算不定积分的二种换元积分法和分部积分法。 4 、会计算三种简单的分式的不定积分：
，,
教学时数：16 学时。
教学内容：
第一节不定积分的概念（两学时）
原函数概念。不定积分的定义与几何意义。不定积分的基本性质。
第二节基本积分表（四学时）
第三节换元积分法：第一换元积分法，第二换元积分法。（四学时）
第四节分部积分法（三学时）
第五节有理函数的积分（三学时）
真分式的分解，简单分式的不定积分。 * 求有理函数不定积分的一般步骤与方法。
考核要求：
领会不定积分的定义及性质。综合应用换元积分法及分步积分法求不定积分。

第六章定积分

教学要点：
1 、积分的概念和基本性质，掌握积分中值定理。 2 、熟练掌握牛顿 --- 莱布尼兹公式会求变上限积分的导数。 3 、了熟练掌握计算定积分的换元积分公式和分部积分公式。注意不定积分与定积分换元积分公式之间的相似性与区别。 4 、会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积。会利用定积分求解一些简单的经济应用题。 5 、了解广义积分收敛与发散的概念。掌握计算收敛广义积分的方法。知道广义积分与的敛散条件。知道函数的概念、基本性质和递推公式。
教学时数：18 学时。
教学内容：
第一节定积分的概念与性质（四学时）
曲边梯形的面积。定积分的定义与几何意义。定积分的基本性质。积分中值定理。
第二节微积分基本定理（四学时）
变上限积分。原函数存在性定理。变上限积分的求导方法。牛顿 --- 莱布尼兹公式。
第三节定积分的计算（两学时）
定积分的第一与第二换元积分法。定积分的分部积分法。
第四节定积分的应用（四学时）
平面图形的面积，立体的体积，简单的经济应用。
第五节广义积分初步（四学时）
无穷积分的概念，无穷积分收敛与发散的定义，无穷积分的计算。
瑕积分的概念，瑕积分收敛与发散的定义，瑕积分的计算。
广义积分与的敛散性判别。
函数的定义、性质与递推公式。
考核要求：
领会定积分定义、牛顿 --- 莱布尼兹公式。综合应用换元法及分步积分法求定积分。应用定积分求广义积分。

第七章无穷级数

教学要点：
1 、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散，以及收敛级数的和等基本概念。 2 、掌握几何级数与 ? 级数的敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性。 3 、掌握级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性 4 、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法。 5 、掌握交错级数的莱布尼兹判别法。 6 、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法。
教学时数：10 学时。
教学内容：
第一节无穷级数的概念与性质（三学时）
无穷级数及其一般项与部分和的概念；无穷级数收敛与发散的定义；收敛级数和的概念；几何级数与调和级数的敛散性；无穷级数收敛的必要条件；收敛级数的基本性质。
第二节正项级数（四学时）
正项级数的概念；正项级数收敛的充分必要条件；正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法； P 级数的敛散性。 * 正项级数的柯西根值判别法和积分判别法
第三节任意项级数（三学时）
交错级数的概念；交错级数敛散性的莱布尼兹判别法。任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念。绝对收敛与条件收敛的判别法。
*? ?第四节广义积分的敛散性判别法
无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法。广义积分的绝对收敛性。函数的定义；函数与函数的关系。
第五节幂级数
函数项级数的概念。幂级数的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数的概念；幂级数敛散性判别法；幂级数收敛半径、收敛区间的求法；幂级数的基本性质。
* 第六节函数的幂级数展开
泰勒公式及其余项；泰勒级数与麦克劳林级数。幂级数展开定理；将函数展成幂级数的方法（直接展开与间接展开）；基本初等函数的幂级数展开。
考核要求：
识记无穷级数。应用正項级数和交错级数收敛判定法。领会函数展开成幂级数。

第八章多元函数微积分学

教学要点：
1 、标系的有关概念，会求空间两点间的距离。了解平面区域、区域的边界、点的邻域、开区域与闭区域等的概念。 2 、了解多元函数的概念。掌握多元函数的定义与表示法。 3 、知道二元函数的极限与连续性的概念。 4 、理解多元函数的偏导数与全微分的概念。熟练掌握求偏导数与全微分的方法。掌握求多元复合函数偏导数的方法。 5 、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导的方法（例如由 ?确定的隐函数，求其偏导数）。 6 、了解二元函数极值与条件极值的概念。掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘子法求解简单二元函数条件极值问题的方法。 7 、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质。掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法，会计算一些简单的二重积分。
教学时数：27 学时。
教学内容：
第一节预备知识（两学时）
空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与曲面方程。平面上的区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念。
第二节多元函数的概念（三学时）
多元函数的定义。二元函数的定义域与几何意义。齐次函数及其基本性质。二元函数的极限与连续性。
第三节偏导数与全导数（四学时）
偏导数的定义与计算方法。全微分的定义与计算方法。
第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法（四学时）
第五节高阶偏导数的定义与求法（两学时）
第六节多元函数的泰勒公式（一学时）
第七节多元函数的极值与最值（五学时）
二元函数极值的定义，极值的必要条件与充分条件。最小二乘法。条件极值的概念与拉格朗日乘子法。多元函数最值的概念与求法。
第八节二重积分（六学时）
曲顶柱体的体积。二重积分的定义与基本性质。二重积分的计算：在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分。二重积分的变量替换公式。 * 广义二重积分与正态密度函数。
考核要点：
领会预备知识，二元函数及其极限。应用多元函数条件极值和拉格朗日数法。应用多元函数的导数及微分。应用二重积分。

第九章微分方程

教学要点：
1 、方程的阶、通解与特解等概念。 2 、掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法。 3 、掌握二阶常系数线性微分方程的解法。 4 、会求解一些简单的经济应用题。
教学时数：10 学时。
教学内容：
第一节微分方程的基本概念（一学时）
微分方程的定义，微分方程的阶、解（通解、特解）、定解条件和初值问题等基本概念。
第二节一阶微分方程（四学时）
可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可化为齐次方程的微分方程与伯努利方程。
* ??第三节高阶微分方程（三学时）
阶线性微分方程的一般形式。阶线性微分方程解的基本定理。二阶常系数线性微分方程的特征根解法。阶常系数线性微分方程的特征根解法。
几类特殊的高阶微分方程的解法。
第四节微分方程在经济学中的简单应用（两学时）
考核要求：
领会微分方程的基本概念，通解、特解。应用一阶微分方程解法及二阶常系数线性方程特征根解法。

* 第十章差分方程

教学要点：
差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解与特解）等概念。 2 、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法。 3 、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。 4 、求解一些简单经济应用题。
教学时数：5 学时。
教学内容：（每节一学时）
第一节差分方程的基本概念
差分与差分方程的概念。差分方程的阶与解（通解与特解）。
第二节一阶常系数线性差分方程
一阶齐次差分方程的通解，一阶非齐次差分方程的特解与通解。
第三节二阶常系数线性差分方程
二阶齐次差分方程的通解（特征根解法），二阶非齐次差分方程的特解与通解。
第四节阶常系数线性差分方程二阶齐次差分方程的通解（特征根解法），阶非齐次差分方程的特解与通解。
第五节差分方程在经济学中的简单应用
考核要求：
领会差分与差分方程的概念。应用一阶和二阶常系数差分方程的特解与通解求法。
三、参考书目
1 、赵树嫄，《经济应用数学基础（一）微积分》，中国人民大学出版社。