课程名称：复变函数
 英文译名：Functions of Complex Variable
 课程学时：54
 开课对象：数学与应用数学专业本科学生
 课程类别：专业必修课
 先修课程：数学分析
 选用教材：钟玉泉编，《复变函数论》第三版，高等教育出版社，2004年
 学分：3

一、课程的任务与基本目的 :
    《复变函数》是数学专业的基础课程之一，是《数学分析》的后续课程, 其中的概念和方法与《数学分析》有着许多的相似和联系，但又有许多的发展与区别。如今，复变函数论一方面成为微分方程、奇异积分方程、计算数学和概率论等数学分支的主要解析方法，一方面又为空气动力学、流体力学、弹性力学、热力学等学科提供了广泛的几何定性研究方法。同时，还发展和开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、多复变函数论、拟共形映射等，因此这门课程在专业理论研究与实际应用方面都起着非常重要的作用。通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的应用打下扎实的基础。
学习者应该先学习完《数学分析》的相关理论知识以作为本课程的学习基础。在学习本课程的过程，学习者应重视基本概念的正确理解、基本理论的系统阐述以及基本运算能力的培养，注意本课程与《数学分析》相关理论的联系与区别。

二、课程主要内容及教学要求:
     该课程介绍了复变函数的一些基本知识，内容包括复变函数、解析函数、复积分、解析函数的幂级数表示、洛朗级数与孤立奇点、留数理论及应用及共形映射等内容。
  主要内容：
1.复数与复变函数
（1）复数
（2）复平面上的点集
（3）复变函数
（4）复球面与无穷远点
2.解析函数
（1）解析函数的概念与柯西-黎曼方程
（2）初等解析函数
（3）初等多值函数
3.复变函数的积分
（1）复积分的概念及其简单性质
（2）柯西积分定理
（3）柯西积分公式及其推论
（4）解析函数与调和函数的关系
4.解析函数的幂级数表示法
（1）复级数的基本性质
（2）幂级数
（3）解析函数的泰勒展式
（4）解析函数零点的孤立性与惟一性定理
5.解析函数的洛朗展式与孤立奇点
（1）解析函数的洛朗展式
（2）解析函数的孤立奇点
（3）解析函数在无穷远点的性质
（4）整函数与亚纯函数的概念
6.留数理论及其应用
（1）留数
（2）用留数定理计算实积分
7.共性映射
（1）解析变换的性质
（2）分式线性变换
（3）某些初等函数所构成的共形映射

  教学要求:

1.了解复数的概念；理解复数的加法、减法、乘积及商、幂、方根的几何意义；掌握复数的几种表示形式及其运算规律；掌握点集及区域的概念；深刻理解复变函数及复变函数的极限和连续性；掌握复球面及扩充复平面的概念。
2.理解解析函数的概念； 熟练掌握函数解析的充要条件；掌握初等函数及其性质。
3.理解积分的定义；熟练掌握积分的计算方法；深刻理解几个重要定理---柯西积分定理、原函数定理、柯西积分公式、高阶导数的柯西积分公式等并能熟练应用。
4.了解复数项级数；理解幂级数的概念、收敛半径及其求法；掌握复变函数展成泰勒级数的条件。
5.理解罗朗级数的定义；掌握罗朗级数与泰勒级数的关系；了解奇点的概念；熟练掌握极点的计算方法。
6.掌握留数及留数的计算方法、留数在积分计算中的应用（包括在实积分计算中的应用）。
7.理解保形变换的概念及几何意义；掌握分式线性变换的性质及决定分式线性变换的条件；理解幂函数及指数函数构成的保形变换。

  课时分配:
本课程讲授54课时，各章节分配学时如下表所示：

三、参考教材:
庄析泰，张南岳，复变函数，北京大学出版社，1982；
余家荣，复变函数(第三版)，高等教育出版社，2000；
路可见等,复变函数, 武汉大学出版社，2004；
西安交通大学高等数学教研室, 复变函数(第四版),高等教育出版社,1996.

四、考核方式
笔试