西北师范大学物理学专业课程教学大纲

西北师范大学物理学专业课程教学大纲

数学物理方法

  一、说明

（一） 课程性质

必修

（二） 学时与学分

学时： 54 学时

学分： 3

（三） 授课对象

物理学本科

（四） 先修课程

高等数学（一元函数微积分、多元函数微积分、级数、常微分方程）、普通物理

（五） 教学目的

“数学物理方法”课程的 基本任务是介绍物理学中常用的经典数学方法， 主要由数学物理方程和特殊函数组成，是 物理学专业的重要专业基础课程之一。 本课程以讲解古典数学物理方法为主， 是学习理论物理、应用数学以及其它许多学科所必须的基础课程 ，在专业教学中起承上启下的作用。

根据教学计划确定的物理学专业的培养目标，设置数学物理方法课程的目的主要是：

[1] 了解从三种物理问题（波动、输运及稳定场问题）导出三类二阶线性偏微分方程（双曲型、抛物型、椭圆型）的过程，会提出相应的定解问题。

[2] 初步掌握求解三类定解问题（混合问题、初值问题、边值问题）的几种基本方法（包括行波法、分离变量法、 Green 函数法、积分变换法）。

[3] 了解几种特殊函数的性质和简单应用。

[4] 通过对本课程的学习，逐步培养学生运用数学物理方法分析和解决物理问题的能力，不断提高学生的思维创新能力和科学文化素养，进一步培养学生的辩证唯物主义思想。

本大纲按照加强基础理论、基本知识和基本技能训练的要求，根据培养目标和教学计划规定的学时安排了内容，力求使信息量适当，难度深浅相宜。带 * 号的内容在教学中可灵活处理。

（六） 大纲版本

制定日期： 2008 年 08 月 28 日

最后一次修订日期： 2008 年 08 月 28 日

所属课程小组及负责人：数学组，薛具奎

大纲编写负责人：洪学仁

二、本文

理论部分

第〇章 绪论

（一）教学时数：

4 学时

（二）主要内容 :

0.1 数学物理方法简介

0.2 数学物理方法的主要内容

0.3 数学物理方程概论

（定解问题及其适定性；二阶线性偏微分方程的分类及其解的性质）

（三）基本要求 :

0.1 了解数学物理方法课程的基本任务和主要内容。

0.2 了解什么是数学物理方程

0.3 了解定解问题及其适定性

0.4 了解二阶线性偏微分方程的分类及其解的性质

第一章 波动方程的行波法和分离变量法

（一）教学时数：

10 学时

（二）主要内容 :

1.1 弦振动方程的建立及其定解问题

1.2 弦振动方程初值问题的行波法（ D'Alembert 解法）

1.3 齐次方程混合问题的分离变量法

*1.4 非齐次方程的求解和非齐次边界条件的处理

（三）基本要求 :

1.1 了解弦振动方程的建立过程，能熟练地写出弦振动方程的形式。

1.2 了解双曲型方程的特点，知道双曲型方程可以用来描述波动现象，初步理解“泛定方程”的概念。

1.3 了解三类边界条件的形式和特点，掌握弦振动方程的固定端点边界条件、自由端点边界条件和弹性支承边界条件。

1.4 进一步了解定解问题及其构成要素，会提出弦振动方程的初值问题和混合问题。

1.5 掌握弦振动方程初值问题的行波法（ D'Alembert 解法），熟记 D'Alembert 公式，了解 D'Alembert 解的物理意义以及波动方程的特征线、依赖区域、决定区域、影响区域等概念。

1.6 掌握齐次弦振动方程混合问题的分离变量法（ Fourier 级数解），包括分离变量法的思想和步骤，了解本征值问题在分离变量法中的重要性，会求解常见的本征值问题；掌握三角函数系的正交性，并能依据初始条件利用三角函数系的正交性写出 Fourier 级数解的系数；了解 Fourier 级数解的物理意义。

*1.7 了解非齐次弦振动方程的 Fourier 级数解法（也可以适当介绍冲量定理法，格林函数法等齐次化方法，此时需要 d 函数的性质）和非齐次边界条件齐次化的简单方法。

第二章 热传导方程的分离变量法

（一）教学时数：

10 学时

（二）主要内容 :

2.1 热传导方程的建立及其定解问题

2.2 热传导方程混合问题的分离变量法

2.3 热传导方程初值问题的分离变量法

*2.4 一端有界的热传导问题

（三）基本要求 :

2.1 了解热传导方程的建立过程，能熟练地写出热传导方程的形式。

2.2 了解抛物型方程的特点，知道抛物型方程可以用来描述输运现象，进一步理解“泛定方程”的概念。

2.3 进一步熟悉三类边界条件的特点，掌握热传导方程的恒温条件和绝热条件。

2.4 进一步理解定解问题的概念和构成要素，会提出热传导方程的混合问题、初值问题和一端有界的热传导问题。

2.5 掌握齐次热传导方程混合问题的分离变量法（ Fourier 级数解）。

2.6 掌握齐次热传导方程初值问题的分离变量法（ Fourier 积分解），了解自然边界条件和久期条件。掌握 Fourier 积分的定义，了解 Fourier 积分解的物理意义。

2.7 通过总结直角坐标系下混合问题（包括弦振动和热传导）和初值问题的分离变量法，了解分离变量法在求解偏微分方程中的重要性，认识到有界空间的本征值是分立的，解为 Fourier 级数，无界空间的本征值是连续的，解为 Fourier 积分。

*2.8 了解一端有界的热传导问题的解法，了解误差函数和余误差函数的定义。

第三章 Laplace 方程圆的 Dirichlet 问题的分离变量法

（一）教学时数：

4 学时

（二）主要内容 :

3.1 稳定场方程及其边值问题

3.2 Laplace 方程圆的 Dirichlet 问题的分离变量法

（三）基本要求 :

3.1 了解 Poisson 方程和 Laplace 方程可以描述稳定场问题。

3.2 了解椭圆型方程的特点，知道椭圆型方程可以描述稳定场现象。

3.3 了解 Laplace 算子在不同正交坐标系下（直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系）的形式。

3.4 掌握 Laplace 方程的基本解（球对称解和圆对称解），了解基本解的物理意义及重要性。

3.5 了解稳定场问题的三类边值问题，会提出 Laplace 方程圆和球的 Dirichlet 问题。

3.6 了解极坐标系下的分离变量法和周期边界条件，掌握 Laplace 方程圆的 Dirichlet 问题的傅式解（ Poisson 积分）。

第四章 Fourier 变换法

（一）教学时数：

6 学时

（二）主要内容 :

4.1 Fourier 变换的定义及其基本性质

4.2 d 函数及其 Fourier 变换

4.3 数理方程初值问题的 Fourier 变换法

（三）基本要求 :

4.1 掌握 Fourier 变换的定义及其基本性质。

4.2 了解 d 函数的定义、性质和物理意义。

4.3 掌握求解数理方程初值问题的 Fourier 变换法。

第五章 Laplace 变换法 （ 6 学时）

（一）教学时数：

6 学时

（二）主要内容 :

5.1 Laplace 变换的定义及其基本性质

5.2 Laplace 变换应用举例

5.3 Laplace 变换的存在定理、反演定理、展开定理

5.4 数理方程混合问题的 Laplace 变换法

（三）基本要求 :

5.1 掌握 Laplace 变换的定义及其基本性质。

5.2 掌握求解数理方程混合问题的 Laplace 变换法。

* 第六章 Green 函数法

（一）教学时数：

6 学时

（二）主要内容 :

6.1 Green 函数及其性质

6.2 Laplace 方程边值问题的 Green 函数法

*6.3 泊松方程的 Dirichlet 问题

（三）基本要求 :

6.1 了解格林函数及其基本性质。

6.2 掌握 Laplace 方程球、圆、半空间、半平面 Dirichlet 问题的 Green 函数法（镜像法）及其解的积分公式。

第七章 Legendre 多项式 球函数

（一）教学时数：

6 学时

（二）主要内容 :

7.1 Legendre 微分方程及 Legendre 多项式

7.2 Legendre 多项式的母函数及其递推公式

7.3 按 Legendre 多项式展开

7.4 连带 Legendre 多项式

7.5 Laplace 方程在球形区域上的 Dirichlet 问题的解

（三）基本要求 :

7.1 了解球坐标系下的分离变量法和 Legendre 微分方程的导出。

7.2 知道 Legendre 微分方程和连带 Legendre 微分方程的形式。

7.3 了解线性变系数二阶常微分方程的幂级数解法。

7.4 了解 Legendre 多项式的不同表达式及递推公式。

7.5 掌握 Legendre 多项式、连带 Legendre 多项式的正交归一性以及会将简单函数按 Legendre 多项式或连带 Ledendre 多项式展开。

7.6 了解用 n 阶球面函数表示 Laplace 方程在球形区域上的 Dirichlet 问题的解。

第八章 Bessel 函数 柱函数

（一）教学时数：

6 学时

（二）主要内容 :

8.1 Bessel 微分方程及 Bessel 函数

8.2 Bessel 函数的母函数和递推公式

8.3 按 Bessel 函数展开

*8.4 第二类和第三类 Bessel 函数

*8.5 变形（或虚变量） Bessel 函数和 Bessel 函数的渐进公式

（三）基本要求 :

8.1 了解 Bessel 微分方程的导出。

8.2 知道 Bessel 微分方程和可化为 Bessel 方程的微分方程的形式。

8.3 掌握 Bessel 函数的正交归一性及展开定理，初步会将函数按 Bessel 函数系展开。

*8.4 了解各类 Bessel 函数及其基本性质。

补充说明：鉴于目前没有真正适合我院物理学专业的 “ 数学物理方法 ” 教材，任课教师可以在本教学大纲规定的主要内容和基本要求的基础上灵活处理目前所用教材（ 四川大学数学系：高等数学（第四册），高等教育出版社， 1985 年第 2 版 ），也可以自编适合我院物理学专业学生的 “ 数学物理方法 ” 讲义。 “ 数学物理方法 ” 是物理学专业一门重要的专业基础课，建议教学时要将多媒体教学手段和传统教学手段相结合，重要推导应在黑板上仔细推演，应注重数学与物理的紧密结合，应注意与后续专业课程，特别是 “ 电动力学 ” 和 “ 量子力学 ” 这两门课程的衔接。

三、参考教材

1. 四川大学数学系：高等数学（第四册），高等教育出版社， 1985 年第 2 版。

2. 梁昆淼：数学物理方法，高等教育出版社， 1998 年第 3 版。