微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。

 微分几何的产生 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。

十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。

1827年高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。

1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。

随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。

我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介：

最后一句诗提到了五位伟大的几何学家：Euclid, Gauss, Riemann, Cartan, 和陈省身。 其中， Euclid为古希腊人， Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan为二十世纪法国人。 陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士， 抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”。
几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry是“测量学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。

Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。

中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”, 从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现。几何学的下一个进展由哲学家Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何学， 使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。

解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。 将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学（non-Euclidean geometry)的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。

Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。

Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。

数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络的重要性，他们都对数学上用来描述连续对称性的Lie群的研究做出过重大贡献。Cartan的工作为现代微分几何的发展奠定了基础。他引进的微分形式理论是研究流形的代数拓扑的基本工具，纤维丛及其联络成为几何学的基本研究对象。Weyl提出的规范原理后来被杨振宁等人发展为规范场论，成为各种统一理论的基础。杨振宁先生上一世纪五十年代提出规范场论时并不清楚与几何学的关系，后来人们逐渐认识到了它与几何学的一致性，引发了理论物理和微分几何的深入交流，产生了Donaldson理论，Seiberg-Witten理论、Gromov-Witten理论等。

陈省身先生的工作建立了流形的局部几何性质与整体的拓扑性质的关系。他引进的陈示性类是几何学发展的一个里程碑，以后的重要进展无不建立在其基础上，例如高维Riemann-Roch定理、指标理论等等。陈先生1984年度的Wolf奖的证书上写到：“他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。”
这里我们简单介绍了微分几何早期的一些历史发展（到二十世纪四十年代），我写的综述文章有更多的信息。完备准确的微分几何史只能等待陈先生这样的大师来写。对代数几何因为与本课程的内容相差较远则完全没有提及。但我想指出微分几何与代数几何是密切相关的学科，陈先生的工作也是代数几何的基本工具。 Fields奖获得者丘成桐先生的得奖工作一个在广义相对论领域(正质量猜想），一个 在代数几何（Calabi猜想）。后者在超弦理论中起关键的作用。 有趣的是其他得过Fields奖的亚洲数学家如Kodaira、Hironaka、Mori都是代数几何学家。

对于有志于理论物理特别是超弦理论的研究的学生来说， 微分几何与代数几何是必修的学科。对这一点有疑问的话，可以参看Brian Greene的通俗读物“宇宙的琴弦”(The Elegant Universe)，特别是第十章。去年夏天来到中国引起轰动的Hawking的重要结果之一是与Penrose利用微分拓扑证明的黑洞存在性。丘成桐先生认为Hawking在微分几何上的贡献胜过大部分的微分几何学家。

最后抄录杨振宁先生一次通俗讲演时所作的打油诗《场论有感》作结：

• 1．具有反映我们自己教学特色和方法的课程讲义，该讲义的编写注重培养学生的科学精神、掌握基本知识和基本方法，和在实际问题中运用微分几何方法和知识的能力，体现了知识、能力和综合素质的统一，以及高等师范教育的特点。已经在六届学生中使用，收效良好。
• 2．教学内容注重少而精，以有效知识为主体，构建支持学生终身学习的知识基础，并以现代几何观点审视传统几何，更新几何教育内容，体现了本课程的基础性、先进性和前沿性。
• 3．运用多媒体技术进行微分几何课程的辅助教学，使课堂教学与网络教学相结合，实现网络环境下的微分几何教学。
• 4. 开发了方便快捷的在线答疑系统，问题与解答能长期共享。